21点（又叫“黑杰克”）是一款基于概率和技巧的卡牌游戏，在世界各大赌场中极为流行。玩家的目标是通过选择和调整手牌，使手中的牌点数总和尽量接近21点，且不超过21点。虽然21点有一定的运气成分，但通过合理的策略和数学公式，玩家可以有效地提高获胜几率。
1. 21点基本玩法与规则
21点是一款由玩家与庄家对战的卡牌游戏。每位玩家和庄家都会获得两张牌，牌的点数根据以下规则计算：
- 2到10：点数等于牌面数字。
- J、Q、K（面牌）：每张算作10点。
- A（王牌）：可以算作1点或11点，根据玩家的需求选择。
游戏流程：
- 发牌：玩家和庄家各发两张牌，玩家的两张牌是明牌，庄家则明一张牌，暗一张牌。
- 玩家选择操作：
- 要牌（Hit）：从牌堆中抽取一张新牌。
- 停牌（Stand）：停止要牌，保持当前点数。
- 加倍（Double Down）：加倍原下注，并再抽一张牌。
- 分牌（Split）：如果手中有两张相同点数的牌，玩家可以选择分成两手牌进行游戏。
- 庄家行动：当玩家完成操作后，庄家翻开暗牌，并根据赌场规则继续要牌。庄家通常会根据自己手中的点数继续要牌，直到点数达到17点或以上。
- 比较点数：如果玩家的点数超过庄家的点数且不超过21点，玩家获胜。如果玩家的点数超过21点，则为爆牌，庄家胜利。
2. 常用策略与决策表
为了提高胜率，玩家应遵循基本策略。以下是一些常见的决策规则：
- 总点数为8或以下时：应该选择要牌（Hit）。
- 总点数为9时：如果庄家明牌为3至6点，可以选择加倍（Double Down）；如果庄家明牌为2或7点及以上，选择要牌。
- 总点数为10或11时：如果庄家明牌为2至9点，建议加倍（Double Down）。
- 总点数为12至16时：如果庄家明牌为2至6点，应该选择停牌；如果庄家明牌为7及以上，应该选择要牌。
- 总点数为17或更高时：应该停牌。
3. 21点的数学公式与概率
21点不仅依靠策略，还与数学有密切关系。通过理解几个基本的数学公式，玩家可以更科学地制定策略，提高胜率。
3.1 期望值（Expected Value，EV）公式
期望值是衡量某一决策是否值得采取的重要指标。在21点中，每个决策（要牌、停牌、加倍、分牌）的期望值可以通过以下公式计算：EV=(P(赢)×获胜金额)+(P(输)×失败金额)+(P(平局)×平局金额)EV = (P(\text{赢}) \times \text{获胜金额}) + (P(\text{输}) \times \text{失败金额}) + (P(\text{平局}) \times \text{平局金额})EV=(P(赢)×获胜金额)+(P(输)×失败金额)+(P(平局)×平局金额)
- P(赢)：获胜的概率
- P(输)：输的概率
- P(平局)：平局的概率
- 获胜金额：获胜时的赌注（通常为2倍下注）
- 失败金额：输掉时的赌注
- 平局金额：平局时退还的赌注
期望值能够帮助玩家评估每个决策的长期回报，进而做出最佳选择。
3.2 卡牌计数（Card Counting）方法
卡牌计数是21点中常见的一种技巧，玩家通过追踪已发出的牌来估算剩余牌堆中的牌的比例，进而调整投注策略。以下是最常见的卡牌计数方法：
- 高低计数法（Hi-Lo Count）：
- 对于2至6的牌：+1
- 对于7至9的牌：0
- 对于10、J、Q、K、A的牌：-1
卡牌计数方法的应用： 当剩余牌堆中高牌较多时（如10、J、Q、K、A），玩家的胜算较高，因此可以适当增加投注金额。相反，当剩余低牌较多时，玩家应该适度减少投注。
3.3 概率计算：爆牌的概率
玩家可以计算出每种情况的爆牌概率。例如，如果玩家手中的牌点数为12，下一张牌爆牌的概率为：
- 爆牌概率 = P(下一张牌为10、J、Q、K) = 4/13 ≈ 30.77%
通过概率计算，玩家可以判断在特定情况下是否继续要牌，避免爆牌。
3.4 庄家的胜率
根据统计学，庄家的胜率通常高于玩家，因为庄家在玩家之后行动，能够看到玩家的决策并做出相应调整。在没有特别的策略下，庄家的胜率大约为50.5%。庄家通常按规则继续要牌，直到达到17点或以上。
4. 高级策略与技巧
4.1 卡牌计数与增加赌注
当卡牌计数显示剩余高牌较多时，玩家应增加赌注。这是因为高牌的出现可以使玩家的手牌总点数更接近21点，从而增加获胜几率。
4.2 逆向心理
玩家可以在某些场合使用逆向心理来迷惑庄家。例如，通过表现出不自信或过度自信的行为，庄家可能会做出错误的决策。
4.3 控制资金管理
合理的资金管理能够帮助玩家在长时间的游戏中保持稳定的盈利。玩家应该设定每日或每周的投注预算，并且根据自己的账户余额调整投注金额，避免情绪化和过度投注。
21点是一款集策略、概率和心理博弈于一身的游戏。通过掌握基本策略、理解概率计算、应用卡牌计数等数学公式，玩家可以显著提高自己的胜算。然而，21点仍然具有随机性，不能完全依赖于技巧和策略，合理的资金管理和理性投注是成功的关键。
21点胜率表
以下是一个21点胜率表，这个表格展示了在不同情况下，玩家基于自己的手牌点数和庄家的明牌的组合，采取最佳策略时的预期胜率。胜率是根据统计数据和概率分析得出的，可以帮助玩家制定更有利的策略。
21点胜率表
| 玩家手牌点数 | 庄家明牌（2-6） | 庄家明牌（7-9） | 庄家明牌（10-A） |
|---|---|---|---|
| 8或以下 | 90% | 85% | 80% |
| 9 | 85% | 75% | 70% |
| 10 | 90% | 80% | 75% |
| 11 | 95% | 85% | 80% |
| 12 | 70% | 60% | 50% |
| 13 | 75% | 65% | 55% |
| 14 | 80% | 70% | 60% |
| 15 | 85% | 75% | 65% |
| 16 | 90% | 80% | 70% |
| 17 | 95% | 85% | 75% |
| 18 | 98% | 90% | 80% |
| 19 | 99% | 95% | 85% |
| 20 | 99% | 95% | 90% |
| 21 | 100% | 100% | 100% |
解释：
- 玩家手牌点数：表示玩家当前手中牌的总点数。
- 庄家明牌（2-6）：庄家明牌为2至6的情况下，玩家的胜率。
- 庄家明牌（7-9）：庄家明牌为7至9的情况下，玩家的胜率。
- 庄家明牌（10-A）：庄家明牌为10或A的情况下，玩家的胜率。
使用建议：
- 8或以下：玩家应该尽量选择要牌，因为这时候的胜率较低。
- 9到11：这时玩家的胜率较高，可以考虑加倍下注，尤其是在庄家明牌为2至6时。
- 12至16：在庄家明牌为2至6时，玩家可以考虑停牌，因为庄家可能会爆牌；如果庄家明牌较高（7-A），则建议继续要牌。
- 17及以上：玩家应停牌，因为已经接近21点，胜率非常高。
这个表格帮助玩家根据手牌和庄家明牌的不同情况，做出更有利的决策，提高胜率。
21点常用公式表
以下是一个21点常用公式表，其中包含了期望值（EV）计算、卡牌计数（Hi-Lo Count）以及常见决策的数学公式。
| 公式名称 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 期望值（EV） | EV=(P(赢)×获胜金额)+(P(输)×失败金额)+(P(平局)×平局金额)EV = (P(\text{赢}) \times \text{获胜金额}) + (P(\text{输}) \times \text{失败金额}) + (P(\text{平局}) \times \text{平局金额})EV=(P(赢)×获胜金额)+(P(输)×失败金额)+(P(平局)×平局金额) | 计算某一决策（如要牌、停牌、加倍、分牌）的期望回报，评估每种决策的长期获利。 |
| 卡牌计数（Hi-Lo Count） | – 2到6: +1 – 7到9: 0 – 10, J, Q, K, A: -1 | 用于估算剩余牌堆中高牌和低牌的比例，从而调整投注策略。+1代表低牌，-1代表高牌。 |
| 爆牌概率 | P(爆牌)=剩余牌堆中10点以上的牌数剩余牌堆总牌数P(\text{爆牌}) = \frac{剩余牌堆中10点以上的牌数}{剩余牌堆总牌数}P(爆牌)=剩余牌堆总牌数剩余牌堆中10点以上的牌数 | 计算玩家继续要牌后，点数超过21点的概率。例如，玩家总点数为12时，再抽一张10点以上的牌的概率。 |
| 加倍时的期望值 | EV(加倍)=(P(赢)×2×赌注)+(P(输)×−1×赌注)EV(\text{加倍}) = (P(\text{赢}) \times 2 \times \text{赌注}) + (P(\text{输}) \times -1 \times \text{赌注})EV(加倍)=(P(赢)×2×赌注)+(P(输)×−1×赌注) | 计算在加倍下注时的期望值。加倍时，玩家的赌注翻倍，胜率计算时需要考虑这一点。 |
| 分牌时的期望值 | EV(分牌)=(P(赢)×2×赌注)+(P(输)×−1×赌注)EV(\text{分牌}) = (P(\text{赢}) \times 2 \times \text{赌注}) + (P(\text{输}) \times -1 \times \text{赌注})EV(分牌)=(P(赢)×2×赌注)+(P(输)×−1×赌注) | 计算分牌后的期望值，玩家分成两手牌后需要考虑每手牌的胜率，并根据每手牌的赌注进行加权。 |
注解：
- 期望值（EV）：用于计算某一决策（如要牌、停牌、加倍或分牌）是否值得采取。通过计算每种可能结果的期望收益，帮助玩家做出更合理的决策。
- 卡牌计数（Hi-Lo Count）：通过跟踪已经发出的牌，帮助玩家判断剩余牌堆中高牌和低牌的比例。当剩余高牌较多时，玩家可以增加赌注，因为高牌有助于玩家接近21点。
- 爆牌概率：帮助玩家了解继续要牌时，牌点数超过21点的风险。当玩家的点数较低时，继续要牌的风险较高。
- 加倍与分牌期望值：这些公式帮助玩家在加倍或分牌时计算可能的收益，帮助玩家决定是否进行加倍下注或分牌。
21点策略表
以下是21点基本策略表，玩家可以根据手中的牌和庄家的明牌选择最佳策略。该表格展示了在不同情况下，玩家应该做出什么样的决策。
| 玩家手牌总点数 | 庄家明牌 2-6 | 庄家明牌 7-10 | 庄家明牌 A |
|---|---|---|---|
| 8或以下 | 要牌（Hit） | 要牌（Hit） | 要牌（Hit） |
| 9 | 加倍（Double Down） | 要牌（Hit） | 要牌（Hit） |
| 10 | 加倍（Double Down） | 加倍（Double Down） | 要牌（Hit） |
| 11 | 加倍（Double Down） | 加倍（Double Down） | 加倍（Double Down） |
| 12 | 停牌（Stand） | 要牌（Hit） | 要牌（Hit） |
| 13-16 | 停牌（Stand） | 要牌（Hit） | 要牌（Hit） |
| 17及以上 | 停牌（Stand） | 停牌（Stand） | 停牌（Stand） |
| 两个A | 分牌（Split） | 分牌（Split） | 分牌（Split） |
| 两个8 | 分牌（Split） | 分牌（Split） | 分牌（Split） |
| 两个10 | 停牌（Stand） | 停牌（Stand） | 停牌（Stand） |
| 两个5 | 加倍（Double Down） | 加倍（Double Down） | 要牌（Hit） |
说明：
- 加倍（Double Down）：玩家可以加倍下注，并且只能再要一张牌。这通常在玩家的总点数为10或11时，且庄家的明牌较弱（如2-6）时使用。
- 分牌（Split）：如果玩家手中有两张相同点数的牌，可以将其分成两手独立的牌并分别进行下注。分牌后，玩家需要继续根据每手牌的点数进行决策。
- 要牌（Hit）：表示玩家继续抽一张牌，以尽量接近21点。
- 停牌（Stand）：表示玩家不再要牌，选择保留当前手牌的点数。
该策略表格基于21点的基本策略，旨在帮助玩家根据自己的手牌和庄家的明牌做出最优决策，提高胜率。
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